問題は↓から見られます.
過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University
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特にひねったところのないストレートな問題です. 測度の計算に慣れていれば容易でしょう.
(1)
For every , there exists an element
such that
. Define
. We show
satisfies the desired properties. Define
. Then from the assumption (A), we have
. Therefore it holds that
. Since
is non-decreasing and converges to
almost everywhere, we obtain from the monotone convergence theorem,
(1)
Assume there exists an element






(2)
and this contradicts to the definition of



(2)
Take an element such that
. From the problem 1, it is obvious the following holds:
(3)
We show the inverse inequality holds. Take






(4)
Therefore we can take an integer


Then it follows that for

(5)
Hence it holds that
(6)
and since

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(1)は微積分レベルの計算をするだけです. 積分記号下での微分の定理を使ってもいいですが, 普通に計算してもそれほど労力は変わらないでしょう.
(2)は多少テクニカルです. 一致の定理まではストレートですが, そこからフーリエ変換が消えていることが導かれることは少し気づきにくいかもしれません.
答案ではのフーリエ変換とそのユニタリ性を利用しましたが, 実は
の意味でのフーリエ変換が
になることから元の関数が
であることが従います. これは例えば黒田成俊『関数解析』(共立出版)の5章でGauss総和法を用いて示されています. よって, この答案では少し余計なことをしているといえばそうなのですが,
のフーリエ変換のユニタリ性の方がメジャーかと思いましたのでこのような証明を採用しました.
(2)でthe identity theorem とありますが, これは一致の定理のことです.
(1)
Fix and
. Then for every
such that
, we have
(7)
where we used an elementary estimate



(2)
We denote the closure of linear spans of as
and its orthogonal complement as
.
Let and define
for
. Then for every
, we have
.
From the problem 1, the function is holomorphic on
, and therefore from the identity theorem, we obtain
for every
. In particular, we have for every
,
(8)
This means that the Fourier transform in the sense of











Hence

