院試問題　京大　数学・数理解析専攻　平成30年　専門科目

問題は↓から見られます.
過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University

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ストーン-ワイエルシュトラスの定理を使うのはすぐに思いつきますが, 仮定が奇数にしか成り立たないため, そのまま定理を適用することはできません.
指数関数 $\mathrm{e}^{-x}$ を測度の密度だと思うことで仮定が偶数について成り立つと思うことができ, ストーン-ワイエルシュトラスの定理の仮定を満たす部分代数が定義できます. 後半はリース-マルコフ-角谷の表現定理を使います.
ストーン-ワイエルシュトラスの定理とリース-マルコフ-角谷の表現定理という2つの一般的な定理を使うという珍しい問題です.

Assumption
For every positive odd number $n$ , it holds that

(1) $\begin{align*} \int_{[0,\infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\mu(x) = \int_{[0,\infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\nu(x). \end{align*}$

(1)
Define $d\mu'(x) = \mathrm{e}^{-x}d\mu(x)$ and $d\nu'(x) = \mathrm{e}^{-x}d\nu(x)$ .
From (1), we have for every non-negative even integer $n$ ,

(2) $\begin{align*} \int_{[0, \infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\mu'(x) = \int_{[0, \infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\nu'(x). \end{align*}$

Note that the set $\mathcal{A} = \{ \sum_{k = 1}^{n}a_k\mathrm{e}^{-2kx} \mid n \in \mathbb{N}, a_k \in \mathhbb{R} \}$ comprises a subalgebra in $C_0([0,\infty)) := \{ f: [0,\infty) \to \mathbb{R} \mid \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 \}$ equipped with the sup norm. Then from the Stone-Weierstrass theorem, the subalgebra $\mathcal{A}$ is dense in $C_0([0,\infty))$ . Therefore from (2), for every $f \in C_0([0,\infty))$ , it holds that

(3) $\begin{align*} \int_{[0,\infty)}f(x)d\mu'(x) = \int_{[0,\infty)}f(x)d\nu'(x). \end{align*}$

Then from the Riesz–Markov–Kakutani representation theorem, we obtain $d\mu' = d\nu'$ and therefore $d\mu = d\nu$ .

7

この問題は最初方針を誤り, コンパクト作用素の特異値分解を使って, ゴリゴリと計算したのですが一向に解けませんでした.
方針転換をして単位球の像が相対コンパクトであることを利用することを考えたら割合すぐにできました. 一般に強収束する作用素の列 $\{ A_n \}$ とコンパクト作用素 $B$ に対し, $A_nB$ は作用素ノルムの意味で収束することが言え, この答案ではこの事実を証明しつつ使っています.
これは個人的に感じていることに過ぎないのですが, この手の証明ではコンパクト性を用いる際に収束部分列の存在を使うよりも全有界性を利用する方が証明が書きやすいです. 部分列をとると, そのまた部分列をとる必要が出てきたりして記法がややこしくなり, 答案が書きにくいことがあるからです.

(1)
Define $S_k = f_k \otimes e_k$ where $(x\otimes y)z := (z,y)x$ for $x,y,z \in H$ .
Then it holds that $T_k = S_kT$ . Note that $S := \sum_{n=1}^{\infty}S_n$ converges in the strong operator topology. Indeed, since $\{e_n\}_n$ is an orthonormal basis, we have $\sum_{n=1}^{\infty}|(x,e_n)|^2 = \|x\|^2$ , and therefore we have

(4) $\begin{align*} \left\|\sum_{k=n}^{m}S_kx \right\|^2 = \sum_{k=n}^{m}|(x,e_k)|^2 \xrightarrow{n,m \to \infty} 0. \end{align*}$

We denote $B$ as the closed unit ball of $H$ . Since $T$ is a compact operator, $\overline{TB}$ is compact. Fix $\epsilon > 0$ . Then there exists $y_1, \cdots, y_N \in TB$ such that $\overline{TB} \subset \cup_{i=1}^{N}B_{\epsilon}(y_i)$ , where $B_{\epsilon}(x) = \{ y \in H \mid \| y - x \| < \epsilon \}$ . Then for every $x \in B$ , there is $i \in \{1,\cdots,N\}$ such that $\|Tx - y_i \| < \epsilon$ , and therefore we have

(5) $\begin{align*} \left\| \sum_{k=n}^{m}S_kTx \right\| &\leq \left\| \sum_{k=n}^{m}S_ky_i \right\| + \| S \| \|Tx - y_i\| \\ &\leq \sup_{1 \leq j \leq N}\left\| \sum_{k=n}^{\infty}S_ky_j \right\| + \|S\| \epsilon. \label{} \end{align*}$

Since (5) does not depend on $x \in B$ , we have

(6) $\begin{align*} \left\| \sum_{k=n}^{m}S_kT \right\| \leq \sup_{1 \leq j \leq N}\left\| \sum_{k=n}^{\infty}S_ky_j \right\| + \|S\| \epsilon \xrightarrow{n \to \infty} \| S \|\epsilon. \end{align*}$

Since we can take $\epsilon > 0$ arbitrary small, we obtain the desired result.

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