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過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University
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ストーン-ワイエルシュトラスの定理を使うのはすぐに思いつきますが, 仮定が奇数にしか成り立たないため, そのまま定理を適用することはできません.
指数関数を測度の密度だと思うことで仮定が偶数について成り立つと思うことができ, ストーン-ワイエルシュトラスの定理 の仮定を満たす部分代数が定義できます. 後半はリース-マルコフ-角谷の表現定理を使います.
ストーン-ワイエルシュトラスの定理とリース-マルコフ-角谷の表現定理 という2つの一般的な定理を使うという珍しい問題です.
Assumption
For every positive odd number , it holds that
(1)
(1)
Define and
.
From (1), we have for every non-negative even integer ,
(2)
Note that the set





(3)
Then from the Riesz–Markov–Kakutani representation theorem, we obtain


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この問題は最初方針を誤り, コンパクト作用素の特異値分解を使って, ゴリゴリと計算したのですが一向に解けませんでした.
方針転換をして単位球の像が相対コンパクトであることを利用することを考えたら割合すぐにできました. 一般に強収束する作用素の列とコンパクト作用素
に対し,
は作用素ノルムの意味で収束することが言え, この答案ではこの事実を証明しつつ使っています.
これは個人的に感じていることに過ぎないのですが, この手の証明ではコンパクト性を用いる際に収束部分列の存在を使うよりも全有界性を利用する方が証明が書きやすいです. 部分列をとると, そのまた部分列をとる必要が出てきたりして記法がややこしくなり, 答案が書きにくいことがあるからです.
(1)
Define where
for
.
Then it holds that . Note that
converges in the strong operator topology. Indeed, since
is an orthonormal basis, we have
, and therefore we have
(4)
We denote











(5)
Since (5) does not depend on

(6)
Since we can take
