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院試問題 東大 数理科学研究科 平成31年 専門科目B

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平成31(2019)年度修士課程入学試験について | 東京大学大学院数理科学研究科理学部数学科・理学部数学科

9

(1)
Let \psi be the inverse function of \varphi. By changing variables, we have

(1)   \begin{align*}         ||Tf||^2 &= \int_{0}^{\infty}|f(\varphi(x))|^2dx  \\         &= \int_{0}^{\infty}|f(x)|^2\frac{dx}{\varphi'(\psi(x))} \\         &\leq \frac{||f||^2}{c}      \end{align*}


where c = \inf_{x > 0}\varphi'(x) > 0. Hence ||T|| \leq 1/\sqrt{c}.

(2)
Let \epsilon > 0 and |\lambda| \leq 1/\sqrt{\alpha + \epsilon}.
Define \beta_0 = 0, \beta_1 = \varphi(0) > 0 and \beta_{n+1} = \varphi(\beta_n) for n \geq 1.
Note that since we have \beta_1 > 0 and

(2)   \begin{align*}     \beta_{n+1} - \beta_n = \int_{\beta_{n-1}}^{\beta_n}\varphi'(x)dx \geq \beta_n - \beta_{n-1},  \end{align*}


it follows by induction that \beta_{n+1} \geq \beta_n + \beta_1. Hence the sequence \{\beta_n\}_n is strictly increasing and diverges to \infty.

Define f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\lambda^n1_{(\beta_n,\beta_{n+1}]}(x).
Then we have

(3)   \begin{align*}     Tf(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty}\lambda^n1_{(\beta_n,\beta_{n+1}]}(\varphi(x))  \\     &= \sum_{n = 0}^{\infty}\lambda^n1_{(\beta_{n-1},\beta_{n}]}(x)  \\     &= \lambda f(x).  \end{align*}

We show that f is square-integrable.
Since it holds that\lim_{n \to \infty}\beta_{n} = \infty and \lim_{x \to \infty}\varphi'(x) = \alpha, we have

(4)   \begin{align*}     \beta_{n+1} - \beta_{n} \leq C (\alpha + \epsilon/2)^{n}  \end{align*}


for a constant C > 0 and every n \geq 1.
Then we obtain

(5)   \begin{align*} ||f||^2 &= \sum_{n=0}^{\infty}|\lambda|^{2n}(\beta_{n+1} - \beta_{n})  \\ &\leq C\sum_{n=0}^{\infty}|\lambda|^{2n}(\alpha + \epsilon/2)^n < \infty. \end{align*}


Therefore f is square-integrable and T - \lambda I is not injective.

(3)
Suppose there exists a bounded inverse operator S of T - I.
Then we have for every f \in L^2(\Omega) that

(6)   \begin{align*}     ||f|| = ||S(T - I)f|| \leq ||S|| ||(T - I)f||.  \end{align*}


Hence it follows that ||(T-I)f|| \geq ||f||/||S||. Then it is enough to show that there exists a sequence \{f_n\}_n in L^2(\Omega) such that ||f_n|| = 1 and \lim_{n \to \infty}||(T-I)f_n|| = 0.

For n \in \mathbb{N}, define f_n = (1/ \sqrt{n})1_{(0,1/n]}(x). Then it holds that ||f_n|| = 1.
Then we obtain

(7)   \begin{align*}     ||(T-I)f_n||^2 =& \int_{0}^{\infty}|f_n(\varphi(x))|^2dx  \\     &+ \int_{0}^{\infty}|f_n(x)|^2dx - 2\int_{0}^{\infty}f_n(x)f_n(\varphi(x))dx  \\     =& 1 - n\log (1 + 1/n) \xrightarrow{n \to \infty} 0.  \end{align*}

12

(1)
Since it holds that \mu({x}) = 0 for every x \in I, the function [0,1] \ni t \mapsto \mu(A_t) is continuous. Hence from the intermediate value theorem, we obtain the desired result.

(2)
From the problem (1), we can inductively take a sequence \{t_n\}_n in I such that

(8)   \begin{align*}         0 = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots, \  \mu(A \cap [t_{n-1},t_n)) = 2^{-n}.       \end{align*}


Define t = \lim_{n \to \infty}t_n, B_1 = A\cap ([t_0,t_1)\cup [t,1]) and B_n = A \cap [t_{n-1},t_n) for n \geq 2. Then it is obvious that B_n satisfies the desired properties.

(3)
If f(x) = \infty \mu-a.e. x, it is clear that \int_{A}f(x)\mu(dx) = \infty for every measurable set A such that \mu (A) > 0.

Assume \int_{A}f(x)\mu(dx) \geq 1 for every measurable set A such that \mu(A) > 0.
If there is some R > 0 such that \mu (f > R) < 1, then we can take some x, y \in I such that 0 < y - x < 1/2R and \mu (\{ f \leq R \}\cap [x,y]) > 0.
Then we have

(9)   \begin{align*}     \int_{\{ f \leq R \}\cap [x,y]}f(x)\mu(dx) \leq 1/2.   \end{align*}


and this contradicts to the assumption.

(4)
This is obvious from Schwarz’s inequality.

(5)
From the problem (3), it is enough to show that

(10)   \begin{align*}         \int_{A}\sum_{n=1}^{\infty}e_n(x)^2\mu(dx) \geq 1      \end{align*}


for every measurable set A such that \mu(A) > 0.
Take such a measurable set A.
Since \{e_n\} is an orthonormal basis, we have

(11)   \begin{align*}         \mu(A) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{A}e_n(x)\mu(dx)\right)^2.      \end{align*}


From the problem (4), it follows that

(12)   \begin{align*}         \left( \int_{A}e_n(x)\mu(dx) \right)^2 \leq \mu(A) \int_{A}e_n(x)^2\mu(dx),      \end{align*}


and therefore from (11) we obtain

(13)   \begin{align*}         \mu(A) \leq \mu(A) \sum_{n=1}^{\infty} \int_{A}e_n(x)^2\mu(dx).      \end{align*}


Then the proof is complete.

13

(1)
It is not difficult to check

(14)   \begin{align*}         \mathbb{E}[X_1^2 - 1] = 0, \mathrm{Var}(X_1^2 - 1) = 2.      \end{align*}


For every \lambda \geq -1, we have

(15)   \begin{align*}         \mathbb{P}[X_1^2 - 1 \leq \lambda] &= \mathbb{P}[|X_1| \leq \sqrt{\lambda + 1}]  \\         &= \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\sqrt{\lambda + 1}}\mathrm{e}^{-x^2/2}dx,      \end{align*}


and therefore

(16)   \begin{align*}         \frac{d}{d\lambda}\mathbb{P}[X_1^2 - 1 \leq \lambda] = \frac{\mathrm{e}^{-(\lambda + 1)/2}}{\sqrt{2\pi (\lambda +  1)}}.      \end{align*}


Hence the probability density function f of X_1^2 - 1 is

(17)   \begin{align*}         f(x) = \frac{\mathrm{e}^{-(x + 1)/2}1\{x \geq -1\}}{\sqrt{2\pi (x + 1)}}.      \end{align*}



(2)
Since we have S_2 \geq -a_1 - a_2 a.s., the support \sigma_2 of S_2 is contained in [-a_1 - a_2, \infty). For a \geq - a_1 - a_2 and \epsilon > 0, there exists a number \lambda \geq 0 such that a = -\lambda a_1 - (1 - \lambda)(a_1 + a_2) = -a_1 - (1 - \lambda) a_2. Since the support of X_i^2 - 1 is [-1,\infty), we have from the independence of X_1 and X_2,

(18)   \begin{align*}         &\mathbb{P}[|S_2 - a| < \epsilon] \\         \geq& \mathbb{P}[|a_1(X_1^2 - 1) + a_1| < \epsilon / 2]\cdot\mathbb{P}[|a_2(X_2^2 - 1) + (1 - \lambda)a_2| < \epsilon / 2]  \\         >& 0.     \end{align*}


Hence a \in \sigma_2 and it follows that \sigma_2 = [-a_1 - a_2, \infty).

(3)
From the independence of X_i, we have for m > n

(19)   \begin{align*}         \mathbb{E}|S_n - S_m|^2 &= \sum_{k=n+1}^{m}a_k^2 \mathrm{Var}(X_k^2 - 1)   \\         &= 2\sum_{k=n+1}^{m}a_k^2 \xrightarrow{m,n \to \infty} 0.       \end{align*}


Hence the sequence \{ S_n \}_n is Cauchy in L^2(\mathbb{P}) and converges to some random variable S in L^2(\mathbb{P}).

(4)
We denote the support of S as \sigma.
We show that a necessary and sufficient condition for \sigma = \mathbb{R} is

(20)   \begin{align*}         \sum_{n=1}^{\infty}a_i = \infty.      \end{align*}


Note that from the same argument in the problem (2), the support \sigma_n of S_n is [-\sum_{k=1}^{n}a_k, \infty).
Suppose (20) holds. Then for every a \in \mathbb{R}, N \in \mathbb{N} and \epsilon > 0, we have

(21)   \begin{align*}         \mathbb{P}[|S - a| < \epsilon] \geq \mathbb{P}[|S_N - a| < \epsilon / 2]\cdot \mathbb{P}[ |\tilde{S}_N| < \epsilon / 2 ]      \end{align*}


where \tilde{S}_N = \sum{k=N+1}^{\infty}a_k(X_k^2 - 1). Since \mathbb{P}[|S_N - a| < \epsilon / 2] > 0 for every large N, we obtain a \in \sigma if we can show \mathbb{P}[ |\tilde{S}_N| < \epsilon / 2 ] > 0 for large N.
From the Chebychev’s inequality, we have

(22)   \begin{align*}     \mathbb{P}[ |\tilde{S}_N| < \epsilon / 2 ] &= 1 - \mathbb{P}[ |\tilde{S}_N| \geq \epsilon / 2 ]  \\     &\geq 1 - \frac{8}{\epsilon^2}\sum_{k=N+1}^{\infty}a_k^2  \\     &\xrightarrow{N \to \infty} 1.  \end{align*}


Hence we obtain a \in \sigma.

Suppose (20) does not hold, that is, \alpha := \sum_{n=1}^{\infty}a_n < \infty. Then for every a < -\alpha and N \in \mathbb{N}, we take \epsilon > 0 so that a + 2 \epsilon < -\alpha, we have

(23)   \begin{align*}     &\mathbb{P}[|S - a| < \epsilon] \\      \leq& \mathbb{P}[|S - a| < \epsilon, |S - S_N| < \epsilon] + \mathbb{P}[|S - S_N| \geq \epsilon]  \\     \leq& \mathbb{P}[|S_N - a| < 2\epsilon] + \mathbb{P}[|S - S_N| \geq \epsilon]  \\     =& \mathbb{P}[|S - S_N| \geq \epsilon]  \\     \xrightarrow{N \to \infty}& 0.  \end{align*}


Hence it follows that a \not\in \sigma.

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過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University

6

(1)はルベーグの収束定理を使うためにうまい優関数を見つける必要があります. やること自体はシンプルなのですが何となく馴染みのない計算で少し苦労しました. (2)は特段詰まるところのない問題です.

(1)
Define f(x) = (1 + x)^{1/x}.
From an elementary calculation, we have f(x) \geq 2 for x \in (0,1]. Therefore it follows that for 1/n \leq t \leq n,

(1)   \begin{align*} \left( 1  + \frac{t}{n}  \right)^{-n}t^{x-1}  \leq 2^{-t} t^{x-1}.   \end{align*}


Since the function t \mapsto 2^{-t} t^{x-1} is integrable on (0,\infty) for every x > 0, we obtain from the dominated convergence theorem \varphi(x) =  \int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{x-1}dt.

(2)
Define g(t,x) = \mathrm{e}^{-t}t^{x-1}. Fix x_0 > 0 and take C,\epsilon so that \log t \leq Ct^{\epsilon} \ (t > 0). Since we have \frac {\partial}{\partial x}g(t,x) = g(t,x) \log t,
it holds that

(2)   \begin{align*} \left| \frac{\partial}{\partial x}g(t,x) \right| \leq C g(t,x + \epsilon).  \end{align*}


Hence for every \delta > 0 such that x_0 - \delta > 0, the function u(t) := \frac{\partial}{\partial x}g(t,x) for x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta] is dominated by the integrable function Cg(t,x_0 + \epsilon + \delta). Then we can interchange the differentiation and integration of \varphi and \varphi is differentiable.

7

(1)はアスコリ-アルツェラの定理を使ってコンパクト性を示します. 定番の方法といえるでしょう.
(2)は具体的に共役作用素が求まることがポイントです. 最終的には常微分方程式の境界値問題になります.

(1)
Let \{ u_n \}_n be a sequence in the unit ball of L^2([0,1]).
From Arzela-Ascoli theorem, it is enough to show that the sequence \{Tu_n\}_n is uniformly bounded and equicontinuous in C([0,1]).
From Hölder’s inequality, we have for every 0 \leq s < t \leq 1,

(3)   \begin{align*}     |Tu_n(t) - Tu_n(s)| \leq \sqrt{t - s}||u_n||_2 \leq \sqrt{t - s},  \end{align*}


where \| \cdot \| denotes the norm of L^2([0,1]).
From this, the equicontinuity and uniform boundedness is obvious.

(2)
From an elementary calculation, we can check that

(4)   \begin{align*}     T^{\ast}u(t) = \int_{t}^{1}u(s)ds.  \end{align*}


Since the operator T^{\ast}T is self-adjoint, its eigenvalues must be real.
Take \lambda \in \mathbb{R} and suppose T^{\ast}Tu = \lambda u and u \neq 0. Then it follows that

(5)   \begin{align*}     \int_{t}^{1}ds\int_{0}^{s}u(r)dr = \lambda u(t) \ (t \in [0,1]).  \end{align*}


Since the LHS of (5) is continuous, the function u is continuous. Then it follows that LHS of (5) is C^2 function and therefore u is so.
Differentiating both sides twice in (5), we obtain

(6)   \begin{align*}     -u(t) = \lambda u''(t).  \end{align*}


Since u \neq 0, it follows that \lambda \neq 0. Then we have

(7)   \begin{align*}     u(1) = 0, \ u'(0) = 0.  \end{align*}

If \lambda > 0, from (6), it holds that

(8)   \begin{align*}     u(t) = A \cos \frac{t}{\sqrt{\lambda}} + B \sin \frac{t}{\sqrt{\lambda}}  \end{align*}


for constants A,B \in \mathbb{R}. Then from (7), we have A \neq 0, B = 0 and \lambda = \frac{1}{(1/2 + n)^2\pi^2} \ (\exists n \in \mathbb{N}). Hence u must be of the form

(9)   \begin{align*}      u(t) = A \cos \left(\frac{1}{2} + n\right)\pi t,  \end{align*}


and we can easily check that this function satisfies (5).

If \lambda < 0, it follows from (6) that

(10)   \begin{align*}     u(t) = A\mathrm{e}^{\sqrt{-\lambda}t} + B\mathrm{e}^{-\sqrt{-\lambda}t}  \end{align*}


for constants A,B \in \mathbb{R}. From (7), we have A = B = 0 and this contradicts to the assumption u \neq 0.

Therefore the eigenvalues of T^{\ast}T are \left\{\frac{1}{(1/2 + n)^2\pi^2} ,  n \in \mathbb{N}\right\}.

院試問題 東大 複雑理工学専攻 平成31年 専門基礎科目

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複雑理工学専攻

1

単純な計算問題なので省略.

2

線形代数の基本的な問題です.

(1)
This is obvious.

(1)   \begin{align*} A = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right).  \end{align*}

(2) For \lambda \in \mathbb{C}, we have

(2)   \begin{align*} \det (\lambda - A) = \lambda^2 - \lambda - 1.  \end{align*}

Therefore \det (\lambda - A) = 0 \Leftrightarrow \lambda = (1 \pm \sqrt{5})/2, and we obtain

(3)   \begin{align*} \lambda_\pm = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.  \end{align*}

(3) Since it holds that

(4)   \begin{align*} (\lambda_\pm - A) = \left( \begin{matrix} \lambda_\pm & -1 \\ -1 & - \lambda_\mp \\ \end{matrix} \right),  \end{align*}

an eigenvector u_\pm for the eigenvalue \lambda_\pm is

(5)   \begin{align*} u_\pm = \left( \begin{matrix} 1 \\ \lambda_\pm \\ \end{matrix} \right). \end{align*}

Hence we obtain

(6)   \begin{align*} P^{-1}AP = \left( \begin{matrix} \lambda_+ & 0 \\ 0 & \lambda_- \\ \end{matrix} \right), \end{align*}

where P = (u_+ ,u_-). Then it follows that

(7)   \begin{align*} P^{-1}A^nP = \left( \begin{matrix} \lambda_+^n & 0 \\ 0 & \lambda_-^n \\ \end{matrix} \right), \end{align*}

and we obtain the desired result. (4) Since we have

(8)   \begin{align*} \left( \begin{matrix} x_n \\ x_{n+1} \\ \end{matrix} \right) = A^{n-1} \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{matrix} \right), \end{align*}

we can easily check that

(9)   \begin{align*} x_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1}{\lambda_+^2} + \frac{1}{\lambda_+} \right)\lambda_+^n + \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1}{\lambda_-^2} + \frac{1}{\lambda_-} \right)\lambda_-^n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\lambda_+^n - \lambda_-^n).  \end{align*}

Here we used the fact \lambda_\pm^2 - \lambda_\pm -1 = 0. (5) From the problem (3) and (4), we have

(10)   \begin{align*} A^n     = \left( \begin{matrix} x_{n-1} & x_n \\ x_n & x_{n+1} \\ \end{matrix} \right). \end{align*}

Hence we obtain

(11)   \begin{align*} y_n = a x_{n-2} + b x_{n-1}. \end{align*}

(6) It is obvious that D_2 = 2. By considering the cofactor expansion of D_n with respect to the first column, we have

(12)   \begin{align*} D_n &= D_{n-1} + \det \left( \begin{matrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ -1 &&& \\ 0 &&& \\ \vdots &&\text{\Huge $D_{n-2}$}& \\ 0 &&&  \end{matrix} \right) \\ &= D_{n-1} + D_{n-2}. \end{align*}

Hence from the problem (5), we obtain

(13)   \begin{align*} D_n = x_{n-2} + 2x_{n-1}. \end{align*}

3

フーリエ変換の問題です. (4)以外は単純な計算問題です. (4)はs(\omega/2)^3の逆フーリエ変換を直接計算できるかと思いましたが, 計算がうまくいかなかったため, L^2におけるフーリエ変換のユニタリ性(特に単射性)を用いました. 少し大げさな解き方かもしれません.

(1)
We denote the Fourier transform of g as G.

(14)   \begin{align*}     G(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\mathrm{e}^{-\i \omega t}dt = 2\int_{0}^{1/2} \cos \omega t dt = \frac{2 \sin (\omega /2)}{\omega} = s(\omega/2).  \end{align*}



(2)

(15)   \begin{align*}     h(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}g(\tau)g(t - \tau)d\tau  \\     &= \int_{-1/2}^{1/2}g(t - \tau)d\tau  \\     &=\int_{t - 1/2}^{t + 1/2}g(\tau)d\tau  \\     &= (1 - |t|)1\{|t| \leq 1\}.     \end{align*}



(3)
From the problem (1) and (2). we have from Fubini’s theorem

(16)   \begin{align*}     \int_{-\infty}^{\infty}k(t)\mathrm{e}^{-\i \omega t}dt      &= \int_{-\infty}^{\infty}(g\ast g)(t)\mathrm{e}^{-\i \omega t}dt \\     &= \left(\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\mathrm{e}^{-\i \omega t}dt\right)^2 \\     &= s(\omega/2)^2. \end{align*}



(4)
It is not difficult to check that the Fourier transform of g\ast g \ast g is s(\omega/2)^3.
Since the function s(\omega/2)^2 is square-integrable on \mathbb{R}, we have from the unitarity of the Fourier transform l = g \ast g \ast g.

4

(2)の冒頭で示す離散の場合の部分積分公式を使うと計算が楽です.

(1)

(17)   \begin{align*}     \mathrm{Pr}[X \geq a] = \sum_{i = a}^{4}2^{-i} + 2^{-4} = 2^{-a+1}(1 - 2^{-5+a}) + 2^{-4} = 2^{-a + 1}. \end{align*}



(2)
Note that for every function f: \{1,2,\cdots,k\} \rightarrow \mathbb{R} and random variable W, we have

(18)   \begin{align*}        \sum_{i=1}^{k}f(i)\mathrm{Pr}[W = i] &= \sum_{i=1}^{k}f(i)(\mathrm{Pr}[W \geq i] - \mathrm{Pr}[W \geq i + 1])  \label{} \\     &= \sum_{i=1}^{k}f(i)\mathrm{Pr}[W \geq i] - \sum_{i=1}^{k-1}f(i)\mathrm{Pr}[W \geq i + 1] \label{} \\     &= \sum_{i=1}^{k}f(i)\mathrm{Pr}[W \geq i] - \sum_{i=2}^{k}f(i-1)\mathrm{Pr}[W \geq i] \label{} \\     &= f(1) + \sum_{i=2}^{k}(f(i) - f(i-1))\mathrm{Pr}[W \geq i].    \end{align*}


Hence we obtain

(19)   \begin{align*}     E[Z] &= \sum_{i=1}^{5}2^{i}\mathrm{Pr}[X = i] = 2 + \sum_{i = 2}^{5}2^{i-1}\mathrm{Pr}[X \geq i] = 2 + \sum_{i = 2}^{5}1 = 6,  \\     E[Z^2] &= 4 + \sum_{i = 2}^{5}3 \cdot 4^{i-1}\cdot 2^{-i + 1} = 4 + 3 \sum_{i = 2}^{5}2^{i-1} = 94,  \\     \mathrm{Var}(Z) &= 94 - 36 = 58.  \end{align*}



(3)
From the independence of {X_n}_n, we have

(20)   \begin{align*}     \mathrm{Pr}[Y_n \geq a] = \mathrm{Pr}[X_i \geq a \ \text{for all}  1 \leq i \leq n] = \mathrm{Pr}[X \geq a]^n = 2^{n(-a + 1)}. \end{align*}



(4)
From the formula (18), we obtain

(21)   \begin{align*}     E[Y_n] = 1 + \sum_{i = 2}^{k} \mathrm{Pr}[Y_n \geq i] = \frac{2^n - 2^{-n(k-1)}}{2^n -1}.  \end{align*}

院試問題 京大 数学・数理解析専攻 平成30年 専門科目

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6

ストーン-ワイエルシュトラスの定理を使うのはすぐに思いつきますが, 仮定が奇数にしか成り立たないため, そのまま定理を適用することはできません.
指数関数\mathrm{e}^{-x}を測度の密度だと思うことで仮定が偶数について成り立つと思うことができ, ストーン-ワイエルシュトラスの定理 の仮定を満たす部分代数が定義できます. 後半はリース-マルコフ-角谷の表現定理を使います.
ストーン-ワイエルシュトラスの定理とリース-マルコフ-角谷の表現定理 という2つの一般的な定理を使うという珍しい問題です.

Assumption
For every positive odd number n, it holds that

(1)   \begin{align*} \int_{[0,\infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\mu(x) = \int_{[0,\infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\nu(x).  \end{align*}


(1)
Define d\mu'(x) = \mathrm{e}^{-x}d\mu(x) and d\nu'(x) = \mathrm{e}^{-x}d\nu(x).
From (1), we have for every non-negative even integer n,

(2)   \begin{align*}     \int_{[0, \infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\mu'(x) = \int_{[0, \infty)}\mathrm{e}^{-nx}d\nu'(x).  \end{align*}


Note that the set \mathcal{A} = \{ \sum_{k = 1}^{n}a_k\mathrm{e}^{-2kx} \mid n \in \mathbb{N}, a_k \in \mathhbb{R} \} comprises a subalgebra in C_0([0,\infty)) := \{ f: [0,\infty) \to \mathbb{R} \mid \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 \} equipped with the sup norm. Then from the Stone-Weierstrass theorem, the subalgebra \mathcal{A} is dense in C_0([0,\infty)). Therefore from (2), for every f \in C_0([0,\infty)), it holds that

(3)   \begin{align*}     \int_{[0,\infty)}f(x)d\mu'(x) = \int_{[0,\infty)}f(x)d\nu'(x).  \end{align*}


Then from the Riesz–Markov–Kakutani representation theorem, we obtain d\mu' = d\nu' and therefore d\mu = d\nu.

7

この問題は最初方針を誤り, コンパクト作用素の特異値分解を使って, ゴリゴリと計算したのですが一向に解けませんでした.
方針転換をして単位球の像が相対コンパクトであることを利用することを考えたら割合すぐにできました. 一般に強収束する作用素の列\{ A_n \}とコンパクト作用素Bに対し, A_nBは作用素ノルムの意味で収束することが言え, この答案ではこの事実を証明しつつ使っています.
これは個人的に感じていることに過ぎないのですが, この手の証明ではコンパクト性を用いる際に収束部分列の存在を使うよりも全有界性を利用する方が証明が書きやすいです. 部分列をとると, そのまた部分列をとる必要が出てきたりして記法がややこしくなり, 答案が書きにくいことがあるからです.

(1)
Define S_k = f_k \otimes e_k where (x\otimes y)z := (z,y)x for x,y,z \in H.
Then it holds that T_k = S_kT. Note that S := \sum_{n=1}^{\infty}S_n converges in the strong operator topology. Indeed, since \{e_n\}_n is an orthonormal basis, we have \sum_{n=1}^{\infty}|(x,e_n)|^2 = \|x\|^2, and therefore we have

(4)   \begin{align*}     \left\|\sum_{k=n}^{m}S_kx \right\|^2 = \sum_{k=n}^{m}|(x,e_k)|^2 \xrightarrow{n,m \to \infty} 0.  \end{align*}


We denote B as the closed unit ball of H. Since T is a compact operator, \overline{TB} is compact. Fix \epsilon > 0. Then there exists y_1, \cdots, y_N \in TB such that \overline{TB} \subset \cup_{i=1}^{N}B_{\epsilon}(y_i), where B_{\epsilon}(x) = \{ y \in H \mid \| y - x \| < \epsilon \}. Then for every x \in B , there is i \in \{1,\cdots,N\} such that \|Tx - y_i \| < \epsilon, and therefore we have

(5)   \begin{align*}     \left\| \sum_{k=n}^{m}S_kTx  \right\| &\leq \left\| \sum_{k=n}^{m}S_ky_i \right\| + \| S \| \|Tx - y_i\|   \\     &\leq \sup_{1 \leq j \leq N}\left\| \sum_{k=n}^{\infty}S_ky_j \right\| + \|S\| \epsilon. \label{} \end{align*}


Since (5) does not depend on x \in B, we have

(6)   \begin{align*}     \left\| \sum_{k=n}^{m}S_kT \right\| \leq \sup_{1 \leq j \leq N}\left\| \sum_{k=n}^{\infty}S_ky_j \right\| + \|S\| \epsilon \xrightarrow{n \to \infty} \| S \|\epsilon.  \end{align*}


Since we can take \epsilon > 0 arbitrary small, we obtain the desired result.

院試問題 京大 数学・数理解析専攻 平成29年 専門科目

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過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University

6

特にひねったところのないストレートな問題です. 測度の計算に慣れていれば容易でしょう.

(1)
For every n \in \mathbb{N}, there exists an element f_n \in \mathcal{C} such that \int f_nd\mu > M - 1/n. Define \varphi(x) = \sup_n f_n(x). We show \varphi satisfies the desired properties. Define \varphi_n(x) := \max_{1 \leq k \leq n}f_n(x). Then from the assumption (A), we have \varphi_n \in \mathcal{C}. Therefore it holds that M - 1/n \leq \int\varphi_nd\mu \leq M. Since \varphi_n is non-decreasing and converges to \varphi almost everywhere, we obtain from the monotone convergence theorem,

(1)   \begin{align*}     \int\varphi d\mu = \lim_{n \to \infty}\int \varphi_nd\mu = M.  \end{align*}


Assume there exists an element f \in \mathcal{C} such that f(x) > \varphi(x) on A \in \mathcal{F} with \mu(A) > 0. Define \psi_n(x) = \max\{ f(x), \varphi_n(x) \}. Then \psi_n \in \mathcal{C}, and we have

(2)   \begin{align*}     \liminf_{n \to \infty}\int \psi_nd\mu \geq \int_{A}f(x)d\mu + \int_{A^{c}}\varphi d\mu > M,  \end{align*}


and this contradicts to the definition of M. Hence for every f \in \mathcal{C}, we have f(x) \leq \varphi(x) \ \mathrm{a.e.}

(2)
Take an element A \in \mathcal{F} such that \mu(A) > 0. From the problem 1, it is obvious the following holds:

(3)   \begin{align*}     \sup_{f \in \mathcal{C}} \mathrm{ess \ sup}_A \ f \  \leq \mathrm{ess \ sup}_A\ \varphi.  \end{align*}


We show the inverse inequality holds. Take \epsilon > 0. Then there exists a subset B \subset A such that \mu(B) > 0 and \varphi(x) > \mathrm{ess \ sup}_A\varphi - \epsilon holds on B. Since it holds that \lim_{n \to \infty}\varphi_n(x) = \varphi(x) \ \mathrm{a.e}, we have

(4)   \begin{align*}     \lim_{n \to \infty}\mu\{x  \in B \mid \varphi_n(x) > \varphi(x) - \epsilon \} = \mu(B).  \end{align*}


Therefore we can take an integer N such that \mu\{x  \in B \mid \varphi_N(x) > \varphi(x) - \epsilon \} > 0.
Then it follows that for x \in B,

(5)   \begin{align*}     \mathrm{ess \ sup}_A \ \varphi < \varphi(x) + \epsilon < \varphi_N(x) + 2\epsilon. \end{align*}


Hence it holds that

(6)   \begin{align*}     \mathrm{ess \ sup}_A\varphi < \sup_{f \in \mathcal{C}}\mathrm{ess \ sup}_A f + 2 \epsilon,  \end{align*}


and since \epsilon > 0 is arbitrary, the proof is complete.

7

(1)は微積分レベルの計算をするだけです. 積分記号下での微分の定理を使ってもいいですが, 普通に計算してもそれほど労力は変わらないでしょう.
(2)は多少テクニカルです. 一致の定理まではストレートですが, そこからフーリエ変換が消えていることが導かれることは少し気づきにくいかもしれません.

答案ではL^2のフーリエ変換とそのユニタリ性を利用しましたが, 実はL^1の意味でのフーリエ変換が0になることから元の関数が0であることが従います. これは例えば黒田成俊『関数解析』(共立出版)の5章でGauss総和法を用いて示されています. よって, この答案では少し余計なことをしているといえばそうなのですが, L^2のフーリエ変換のユニタリ性の方がメジャーかと思いましたのでこのような証明を採用しました.
(2)でthe identity theorem とありますが, これは一致の定理のことです.

(1)
Fix z \in \mathbb{C} and \delta \in (0,1). Then for every h \in \mathbb{C} such that |h| < \delta, we have

(7)   \begin{align*}     &\left|\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - \int_{-\infty}^{\infty}x\mathrm{e}^{-x^2 + zx}dx\right|  \\     =& \left| \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2 + zx}\left( \frac{\mathrm{e}^{hx} - 1}{h} - x \right)dx \right|  \\     \leq&  |h|\int_{-\infty}^{\infty}x^2 \mathrm{e}^{-(1 - \delta)x^2 + |z|x}dx \xrightarrow{|h| \to 0} 0, \end{align*}


where we used an elementary estimate \frac{|\mathrm{e}^{hx} - 1 - hx|}{|h|} \leq |h|x^2\mathrm{e}^{|h|x}. Hence F is holomorphic on \mathbb{C}.

(2)
We denote the closure of linear spans of \{f_n\}_n as M and its orthogonal complement as M^{\perp}.
Let g \in M^{\perp} and define F(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2 + zx}g(x)dx for z \in \mathbb{C}. Then for every n \in \mathbb{N}, we have F(1/n) = 0.
From the problem 1, the function F is holomorphic on \mathbb{C}, and therefore from the identity theorem, we obtain F(z) = 0 for every z \in \mathbb{C}. In particular, we have for every \xi \in \mathbb{R},

(8)   \begin{align*}     \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}g(x)\mathrm{e}^{i\xi x}dx = 0.  \end{align*}


This means that the Fourier transform in the sense of L^1(\mathbb{R}) of the function \mathrm{e}^{-x^2}g(x) is 0. Since \mathrm{e}^{-x^2}g(x) \in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R}), the Fourier transform in the sense of L^1(\mathbb{R}) and L^2(\mathbb{R}) coincide. Since the Fourier transform in the sense of L^2(\mathbb{R}) is unitary, we have \mathrm{e}^{-x^2}g(x) = 0, and because the function \mathrm{e}^{-x^2} is always positive, we obtain g = 0 in L^2(\mathbb{R}).
Hence M^{\perp} = {0} and therefore M is dense.

院試問題 東大 数理科学研究科 平成30年 専門科目B

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平成31(2019)年度修士課程入学試験について | 東京大学大学院数理科学研究科理学部数学科・理学部数学科

9

(4)以外は特段難しくはありません. (1),(2)はBanach空間の問題ですが, (3)からは内積を使う必要が出てきます. 多少頭の切り替えに苦労するかもしれません. (4)は直交分解に気づけるかが鍵です.

Assumption
It is assumed that for every g \in L^q(X) the following holds:

(1)   \begin{align*} \lim_{n \to \infty}\int_{X}f_ngd\mu = \int_{X}fgd\mu. \end{align*}

(1)
By Hölder’s inequality, for every g \in L^q(X) s.t. ||g||_q = 1, we have

(2)   \begin{align*} \int_{X}fg d\mu \leq ||f||_p.  \end{align*}


Hence \sup_{||g||_q = 1}\int_{X}fgd\mu \leq ||f||_p. Define h(x) = (1/||f||^{p-1}_p)\mathrm{sgn}(x)|f(x)|^{p-1} where

(3)   \begin{equation*} \mathrm{sgn}(x) = \left\{ \begin{aligned} 1, \quad x > 0, \\ -1 \quad x < 0. \end{aligned} \right.  \end{equation*}


Then it holds that h \in L^q(X), \ ||h||_q = 1 and

(4)   \begin{align*} \int_{X}fhd\mu = ||f||_p,  \end{align*}


and therefore we obtain the result.

(2)
By Hölder’s inequality, we have for every g \in L^q(X) s.t. ||g||_q = 1,

(5)   \begin{align*} \int_{X}f_ngd\mu \leq ||f_n||_p.   \end{align*}


Then from (1), it follows that

(6)   \begin{align*} \int_{X}fgd\mu \leq \liminf_{n \to \infty}||f_n||_p.  \end{align*}


Then from the problem 1, we obtain the result.

(3)
We denote the inner product of f,g \in L^2(X) as (f,g). Note that

(7)   \begin{align*} ||f_n - f||^2_2 = ||f_n||^2_2 + ||f||^2_2 - 2(f_n,f). \end{align*}


From the assumption and (1), we have \lim_{n \to \infty}||f_n|| = ||f||_2, \  \lim_{n\to \infty}(f_n,f) = ||f||_2. Then from (7), we obtain the result.

(4)
We decompose f = g + h where g \in \overline{V},\ h \in \overline{V}^{\perp}. Then it follows that

(8)   \begin{align*} \int_{X}f_nfd\mu = \int_{X}f_ngd\mu  \end{align*}


Then from (1), LHS of (8) converges to ||f||_2 as n \to \infty, and RHS converges to (f,g) = ||g||_2. Hence it holds that ||f||_2 = ||g||_2 and therefore h = 0.

11

(1)
Assume A is an orthogonal projection. Since A^2 = A, we have

(9)   \begin{align*}     P_1P_2 + P_2P_1 = 0.  \end{align*}


Then for every \xi \in \mathcal{H}, we have \mathrm{Re} \langle P_1\xi,P_2\xi \rangle = 0.
Take \xi \in \mathcal{H}_1 \cap \mathcal{H}_2. Then it follows that

(10)   \begin{align*}      0 = \mathrm{Re}\langle P_1\xi,P_2\xi\rangle = ||\xi||^2,  \end{align*}


and hence \xi = 0. Therefore we obtain \mathcal{H}_1 \cap \mathcal{H}_2 = \{ 0 \}.
For every \xi \in \mathcal{H}, it holds from (9) that P_1P_2\xi \in \mathcal{H}_1 \cap \mathcal{H}_2. Hence P_1P_2 = P_2P_1 = 0 and from this, \cos \theta = \pi/2 easily follows.

Assume \cos \theta = \pi/2. Then for every \xi, \eta \in \mathcal{H}, we have \langle P_1\xi,P_2\eta \rangle = 0 and it easily follows that P_1P_2 = P_2P_1 = 0.

(2)
Note that

(11)   \begin{align*}     \mathcal{H} = (\mathcal{H}_1 \ominus \mathcal{H}_2) \oplus (\mathcal{H}_2 \ominus \mathcal{H}_1) \oplus (\mathcal{H}_1 \cap \mathcal{H}_2),  \end{align*}


where (\mathcal{H}_i \ominus \mathcal{H}_j) denotes \mathcal{H}_i \cap \mathcal{H}^{\perp}_j and \oplus does the direct sum of Hilbert spaces.
It is enough to show that \mathcal{H}_i \ominus \mathcal{H}_j, \ \mathcal{H}_1 \cap \mathcal{H}_2 \subset B\mathcal{H} \  (i,j = 1,2, \ i \neq j).
Let \xi \in \mathcal{H}_i \ominus \mathcal{H}_j. Then we have B(B\xi) = A\xi = \xi.
Hence \xi \in B\mathcal{H}.
Let \xi \in \mathcal{H}_1 \cap \mathcal{H}_2. Then we have B(B\xi) = A\xi = 2\xi, and therefore \xi \in B\mathcal{H}.

(3)
Note that \langle A\xi, \xi \rangle = 0 for every \xi \in \mathcal{L}^{\perp}. Then from the problem 2, it is enough to show for every \xi \in \mathcal{H}

(12)   \begin{align*}     \langle AB\xi, B\xi \rangle \leq (1 + \cos \theta)||B\xi||^2.  \end{align*}


Since it holds that ||B\xi||^2 = ||P_1\xi||^2 + ||P_2\xi||^2, we have for \xi_1 = \frac{P_1\xi}{||P_1\xi||} and \xi_2 = \frac{P_2\xi}{||P_2\xi||},

(13)   \begin{align*}     \langle AB\xi, B\xi \rangle &= ||A\xi||^2   \\     &= (||P_1\xi||^2 + ||P_2\xi||^2) + 2\mathrm{Re} \langle P_1\xi,P_2\xi \rangle  \\     &= ||B\xi||^2 + \frac{2||P_1\xi|| ||P_2\xi||}{||P_1\xi||^2 + ||P_2\xi||^2}     \mathrm{Re} \langle \xi_1,\xi_2 \rangle ||B\xi||^2  \\     &\leq \left(1 + \frac{2||P_1\xi|| ||P_2\xi||}{||P_1\xi||^2 + ||P_2\xi||^2}\cos \theta \right)||B\xi||^2.     \end{align*}


Since it holds that \frac{2xy}{x^2 + y^2} \leq 1 for every x,y \in \mathbb{R}, we obtain the desired result.

14

(1), (2)はかなり容易ですし, 確率論の知識がそれほどなくても解けますが, (3)以降は予備知識なしでは厳しいですね.

Assumption
For every \epsilon > 0 and k \in \mathbb{N}, there exists N \in \mathbb{N} and for every m,n \geq N, we have

(14)   \begin{align*}\sup_{x \in \mathbb{R}} | P[X_nS_k > x] - P[X_mS_k > x]| < \epsilon. \end{align*}

(1)
This is no more than a simple calculation:

(15)   \begin{align*}P[S_k] = 1, \ \text{and} \ P[(S_k - P[S_k])^2] = 1/k. \end{align*}

(2)
By (15) and Chebyshev’s inequality, we have for every \epsilon > 0,

(16)   \begin{align*}P[|S_k - 1| > \epsilon] \leq 1/(\epsilon^2k) \xrightarrow{k \to \infty} 0.\end{align*}


Hence S_k converges to 1 in probability.

(3)
Fix k \in \mathbb{N}. From Helly’s selection theorem, there is a subsequence \{X_{n'}S_k\}_{n'} the law of which converges vaguely to a finite measure \mu_k. It is enough to show that \mu_k is a probability measure and the law of X_nS_k converges to \mu_k as n \to \infty. By taking n to \infty along the subsequence {n'} in (14), there exists an integer N \in \mathbb{N} and it holds for every continuity point x of \mu_k, m \geq N and \epsilon > 0,

(17)   \begin{align*}\sup_{x \in \mathbb{R}}|\mu_k(x,\infty) - P[X_mS_k > x]| \leq \epsilon. \end{align*}


Fix \delta > 0. By taking x so large that P[X_NS_k > x] < \delta, we have from (17)

(18)   \begin{align*}\mu_k(-\infty,x) \geq 1 - \delta - \epsilon. \end{align*}


Since \epsilon and \delta can be taken arbitrary small, it follows that \mu_k(-\infty,\infty) = 1.
Again from (17), we have

(19)   \begin{align*}\lim_{m \to \infty}\sup_{x \in \mathbb{R}}|\mu_k(x,\infty) - P[X_mS_k > x]| = 0, \end{align*}


and hence the law of X_nS_k weakly converges to \mu_k as n \to \infty.

(4)
At first, we show the tightness of the sequence \{X_n\}_n. Fix \epsilon \in (0,1). Then it holds that for every R > 0 and k \in \mathbb{N}

(20)   \begin{align*}P[|X_n| > R] &= P[|X_nS_k| > S_kR ]  \\&\leq P[|S_k - 1| \geq \epsilon] + P[|X_nS_k| > (1 - \epsilon) R]. \end{align*}


From the problem 3, it follows that

(21)   \begin{align*}\lim_{R \to \infty}\limsup_{n \to \infty}P[|X_n| > R] \leq P[|S_k - 1| \geq \epsilon]. \end{align*}


Since k can be taken arbitrary large, we obtain the tightness of \{X_n\}_n from the problem 2.
Suppose that the law of X_n converges to the probability measures \nu and \nu' along the subsequences \{X_{n'}\}_{n'} and \{X_{n"}\}_{n"}, respectively. Since it holds that for every x such that \mu_k\{x\} = 0 \ (\forall k \geq 0) and \epsilon > 0,

(22)   \begin{align*}&P[X_nS_k > x] - P[X_mS_k > x]  \\\leq &P[X_n > x/(1 + \epsilon)] - P[X_m > x/(1 - \epsilon)] + 2P[|S_k - 1| > \epsilon], \end{align*}


by taking n and m to \infty along {n'} and {n"}, respectively and then taking k to \infty, we have

(23)   \begin{align*}0 \leq \nu[x/(1 + \epsilon), \infty) - \nu'(x/(1 - \epsilon), \infty). \end{align*}


Hence we have

(24)   \begin{align*}0 \leq \nu[x,\infty) - \nu'(x,\infty), \end{align*}


and similarly we can show \nu'[x,\infty) - \nu(x,\infty) \geq 0. Then since the point x \in \mathbb{R} such that \nu\{x\} > 0, \nu'\{x\} > 0 or \mu_k\{x\} > 0 \ (\exists k \geq0) is at most countable, we obtain \nu = \nu'.

書評:草場公邦『線型代数』(朝倉書店)

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書誌情報

タイトル:線型代数
著者:草場公邦
出版社:朝倉書店
朝倉書店| 線型代数 (増補版)

本の内容

線型代数の入門書です. 全170ページ程度と他の入門書と比べて薄めですが内容はしっかり詰まってます. 章立ては以下のようになっています.

1. 行列式の話
2. 線型空間の話
3. 線型写像と行列
4. 線型写像とその行列の標準形
5. 計量空間とユニタリー行列
6. 付 録
7. 文献案内
8. 編集者短評
9. 問題解答
10. 索 引

目次の項目は10項目ありますが本編は5章までです.


1章は「行列式の話」です. 天下り的に行列, 行列の和, 積, スカラー倍を定義するところから始まります. 続いて行列式の導入に進むのですが, ここからは打って変わって定義の動機付けの説明が非常に詳しくなります. 具体的には, 2元1次の連立方程式の一般的な解法を考察することから2×2行列に対する行列式へと到達し, その後2×2の場合の性質を詳しく調べ, そこからの類推で一般の場合の行列式を定義しするといった感じです. 続いてクラメルの定理, 余因子行列へと話は進みます.
また補足的に余因子行列を用いない逆行列の求め方として基本変形を用いた方法も解説されます.
このように1章では行列そのものよりも行列式を中心に話が進みます. またこれはこの本全体を通しての特徴ですが, よくある数学書のスタイルである定義・命題・証明の連続ではなく, 地の文での説明が主で,  必要に応じて説明した内容を定義・命題などの形でまとめるというスタイルになっています.

2章は「線型空間の話」です. この章では抽象的なベクトル空間が導入されるのですが, いきなり定義が述べられるのではなく, 予備的な説明が非常に丁寧に行われます. 高校以来の矢印としてのベクトルから出発点し, 何故ベクトルを足したりスカラー倍ができるものとして考えるのが有益なのかが4,5ページかけて説明されます.
続いて部分空間, 次元, 基底, 行列のランクなどと話が進んでいくのですが, いずれの場合も前後で感覚的な説明が付されていたり, 2次元, 3次元の簡単な場合を詳しく説明したりと概念に対する直観が得られるように工夫が凝らされています.

3章は「線型写像と行列」です. この章で線形変換が導入され, その行列表示について詳しく説明がなされます, 線形変換とその表現行列の区別は線型代数の大きな山の一つですが, この本では図式を用いて, 基底をとったときのベクトル空間とn次元ユークリッド空間の同型を表すことでこの区別を明確にし, また基底を変えた時の表現行列の変化なども非常に捉えやすくなっています.

4章は「線型写像とその行列の標準形」です. 対角化やジョルダン標準形について述べられます. ジョルダン標準形の導出はこの本では不変部分空間の概念を導入し, ベクトル空間を広義固有空間の直和へと分解し, 冪零変換の標準形を求める問題へと帰着するというアプローチです. 各ステップが明確に書いてあるので何をしているのかわからなくなることはないでしょう. 一般論を一通り整理した後, 2,3の具体例についてジョルダン標準形の求め方が詳説されます.

最後の5章は「計量空間とユニタリー行列」です. この章で初めて内積が導入され, ユニタリ行列, 直交行列, エルミート行列, 対称行列が定義されます. 扱われるのは正規変換のスペクトル分解や正値エルミート行列の平方根, 行列の極分解などです. 2次形式やシルベスターの慣性法則は扱っていません.

総評

この本の大きな特徴は補助的な説明が豊富である点と, 内容がコンパクトにまとまっている点です. 新しい概念の導入の際には何故そのような概念が必要になるのかの説明や, 既に見知った概念の延長上にあることの説明がほぼ必ず添えられています. このような配慮がしてある本自体は少なくありませんが, この本の説明の量は類書と比べて頭抜けています. これは大きな長所です. また証明も奇抜なものや迂遠なものは無く, スタンダードな議論ばかりです.

ただ1点気になる点は, 扱っている内容の少なさです. 行列の基本変形, 対角化, ジョルダン標準形, スペクトル分解といった必須事項は網羅されているのですが, 2次形式や行列の指数関数といった他の入門書では扱われることも少なくない内容が扱われていません. これはミニマムな内容のみがまとまっているという見方もできるため必ずしも短所とはいえませんが, 欲を言えば付録などで記述があると嬉しい所です.

この本は線型代数を初めて学ぶ人や, 他の入門書を読んだけれどもあまり理解できた感じがしない人にはうってつけの本だと思います. この分量で線型代数の基礎を網羅し, かつこのレベルの丁寧な説明を実現している本は滅多にありません. お勧めの一冊です. ただ上で記したように基礎として最小限の内容しか書かれていないので, 必要に応じて斎藤正彦『線型代数入門』(東京大学出版会)や佐竹一郎『線型代数学』(裳華房)などを部分的に読んで進んだ内容を補充すると良いと思います. この本の内容が理解できていれば他の入門書を部分的に読むのは容易なはずです.

書評:斎藤正彦『線型代数入門』(東京大学出版会)

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書誌情報

タイトル:線型代数入門
著者:斎藤正彦
出版社:東京大学出版会
線型代数入門 – 東京大学出版会

本の内容と初読の際のアドバイス

以下では主にこの本で取り扱っている内容の紹介をしていきますが, 初めての数学書としてこの本を手に取る人も多いだろうと予想してアドバイスを添えつつ紹介していくことにします.
タイトルの通り線形代数の入門書です. 結構古い本で初版は1985年ですが, 時代の流れで不要になった内容はほぼありません. 以下に目次を引用しておきます.

はじめに
まえがき
第1章 平面および空間のベクトル
第2章 行列
第3章 行列式
第4章 線型空間
第5章 固有値と固有ベクトル
第6章 単因子およびジョルダンの標準形
第7章 ベクトルおよび行列の解析的取扱い
附録I 多項式
附録II ユークリッド幾何学の公理
附録III 群および体の公理
あとがき
問題略解



1章は高校以来の平面ベクトル, 空間ベクトルの復習といった感じです. 高校でしっかり勉強してきた人なら概ね知っている内容ばかりです. この章の役割は平面や空間上の回転, 折り返し, 拡大・縮小といった自然な変換が行列を使って表せることを説明することで2章以降への橋渡しをするといったところでしょう.

2章から大学数学が始まります. 行列の定義, 行列同士の足し算・掛け算, 行列のスカラー倍などの基本的な概念を定義した後, 行列の基本変形へと進みます.  基本変形はランクの概念につながる(もちろん基本変形無しでも定義できますが)という意味で理論的にも重要であり, また1次方程式を解いたり, 逆行列を具体的に求めたりすることを可能にするという意味で応用的にも重要です. この本では基本変形は非常に丁寧に扱われているので難なく理解できると思います.  基本変形の後は内積空間やユニタリ行列などといった計量に関わる話を行列の場合に導入します. この本ではこのように計量つきのベクトル空間の話と計量無しの場合を並行して進めていきます. これは多少特徴的といえるかもしれません.

3章は「行列式」となっています. 最初は置換の話から始まるのですが, ここは恐らく最初に読んだときに誰もが「何が始まったんだ?」と感じるところでしょう. 唐突に群まで現れ, 面食らうかもしれませんが, それでも読み進めると行列式の話に入り, やっと置換が必要な理由が分かります. 多少不親切な感じは否めません. 行列式について扱っている内容は標準的です.

4章になると遂に一般のベクトル空間の定義が現れます.  1節では準備段階として集合の包含関係や同値関係などの説明が入りますが, 僕の印象としては何も知らない人が1節を読んでも何をやってるか捉えにくいような気がします. このあたりは特段難しいことではないのですが集合の抽象的な扱いに慣れていないと中々腑に落ちないものです. 「集合と位相」というようなタイトルの本の集合の部分などを読むと良いと思います. (この手の説明は「同値関係」で検索すればわかりやすい説明がすぐに見つかるかと思ったのですが意外とありませんでした. 近いうちに書きます.)扱われている内容は標準的ですが, これまでの章と比べて抽象度がぐっとあがります. これまではベクトルといえば「n次元ユークリッド空間の点」だったのが, ここからは単に「足したりスカラー倍できるもの」は何でもベクトルだということになります. 例えば実係数の多項式全体や実数上の連続関数全体などもベクトル空間です(これらは無限次元のベクトル空間です). しかし読み進めれば分かるように, 実はn次元ベクトル空間は(基底をとるごとに)n次元ユークリッド空間と同じだと思えるので, 抽象的な議論で何をしているか分からなくなったらn次元ユークリッド空間の場合で考えてみると分かりやすくなると思います.
後半では計量の入ったベクトル空間を扱っています. この本には実計量線型空間をユークリッド空間、複素計量線型空間をユニタリ空間ともいうと書いてありますが, 後者はまれに使われることがありますが前者は聞いたことがありません. 内積空間や(プレ)ヒルベルト空間と呼ぶのが普通だと思います.

5章は「固有値と固有ベクトル」です. 固有値・固有ベクトルの概念はこの章で扱う行列の対角化や6章で扱うジョルダン標準形へとつながる重要な概念です. 5章での対角化の扱いはかなりあっさりとしています. ジョルダン標準形の理論が対角化の場合を含むより一般性のある理論なので重複を避けているという印象です. 対角化をさっさと終え, 5章は主にエルミート行列のスペクトル分解や2次形式を詳しく扱っています.

6章はジョルダン標準形の理論を扱っています. ジョルダン標準形の扱いには大きく分けて2つの方法があり, 1つは不変部分空間の概念を導入し, ベクトル空間を広義固有空間の直和に分解し, それぞれの広義固有空間の上で冪零変換の標準形を求める問題へと帰着させる方法, もう1つは単因子論と呼ばれる方法です. 単因子論は可換環や環上の加群の理論などの代数系の知識が必要になるため, 多くのテキストでは不変部分空間の方法を扱っていますが, このテキストは単因子論を採用しています. ただし可換環や環上の加群の理論を陽に用いるのではなく証明に必要な分だけ現地調達するという感じです. 1つ1つのステップ自体はそれほど難解ではないので読めないことはないと思いますが, 大局観はつかみにくいです.

7章はユニークな内容です. 関数解析のさわりの部分といえるでしょう. 必須の内容ではありませんが, 線型代数の射程の長さを示す良い例なので読む価値はあります. 扱われているのは行列の指数関数やペロン・フロベニウスの定理などです.

総評

まずこの本の長所についてです. この本は始めて数学書を読む人でも困らないように色々と配慮されています. 例えば1章で平面・空間ベクトルを復習する点, 随所に集合や写像の基本事項の定義が書かれている点, 付録が充実している点などがあります. これらは本来予備知識として想定しても良いはずのものですが, 初学者にとっては複数の本を参照しつつ読むのは少し大変かもしれません. その意味でこの点は有益だと思います.
他の長所としては上にも書きましたが基本変形の説明が非常に丁寧な点が挙げられます. 基本変形は入門段階の線形代数において最重要事項の1つですからこれは大きな長所です.
また網羅性も入門書としては十分で, 最低限必要な内容は全て抑えてあります.

以上のように長所はいくつもあるのですが, 実のところ短所の方が目立ちます.
この本は長所で述べたように予備知識が無くても読めるようにかなりself-containedに書かれていますが, 質的な面での配慮はほぼありません. 概ね定義・命題・証明が淡々と続くばかりで初めて学ぶ人は, どこに行きつくか見えないままひたすら議論を追っていくことになります. 例えばそれが顕著に現れているのは3章で, 冒頭でいきなり置換が導入され, 行列式の定義へと進むのですが, この間これらの概念がなぜ必要なのかの説明は全くありません. 後半の余因子行列のところまで読んでやっと行列式の定義の根拠が分かるといった調子です. もう少し配慮があってよいと思います. 例えば章の最初にクラメルの公式を用いた連立1次方程式の解法をダイジェスト的に説明すれば行列式の必要性や行列式と正則性の結びつきが自ずとわかり, 見通しをもって先を読んでいけると思うのですが.

また内積空間と通常のベクトル空間を並行して扱うのは多少分かりにくいです. 例えば「5章固有値と固有ベクトル」では序盤に通常のベクトル空間における対角化を扱い, 後半では正規変換のスペクトル分解を扱っています. これらは確かに共に固有値・固有ベクトルが重要な役割を果たす内容であり, いずれも線形変換を互いに直交する固有空間への射影の線形結合へと分解するという意味でかなり似通ってはいるのですが, それぞれの場合で射影の定義は僅かに異なり, これによって議論も大きく違ってきます. また内積空間と通常のベクトル空間は現れる場面が大きく異なるので「固有値・固有ベクトル」というような緩やかなつながりで括ることにあまり意味はなく, 明確に切り分ける方が分かりやすいです. 具体的には最初に内積無しのベクトル空間の理論を一通り展開し, その後に内積無しの場合の一般論を援用しながら内積空間の議論をするのが良いと思います.

この本の一番の欠点はジョルダン標準形の扱いです. 単因子論を用いること自体は全く問題はありません. むしろ最も簡潔にジョルダン標準形へと至る道だと思います. ただし単因子論を用いるならば環上の加群の言葉で整理するべきです. より具体的にはPID上の有限生成加群の構造定理を用いるべきです. この本ではこれらの一般論を全く扱わず, 一歩ずつ手探りで進むような議論になっています. このため証明を追うことはできても, その背後にある構造が全く見えません. ジョルダン標準形については単因子論を適切に用いれば非常に明瞭な理解が得られるものなのでこれは大きな欠点です. 実はこの本の筆者も単因子論を用いたことに関してあとがきで「本書の大きな弱点」と述べています.

総合的に見て, 今この本を敢えて選ぶ理由はないと思います. やはりジョルダン標準形の扱いがかなり痛いです. 他の点については際立って悪い点はありませんが, 際立った長所もありません.  ただ値段が安いのは特筆すべき点かもしれません(1900円+税). お金に余裕のある人は他の入門書を選ぶことをお勧めします.
最後に補足としてジョルダン標準形についてわかりやすく解説してある本を2冊紹介しておきます.
不変部分空間の方法を用いた解説は草場公邦『線型代数 (増補版)』(朝倉書店)の解説が非常にわかりやすいです.
単因子論を用いた解説は環上の加群を扱う本なら大抵は載っていますが, 堀田良之『加群十話』(朝倉書店)は異様に手際の良い説明が乗っています. この本は後半で表現論の基礎的な内容まで書いてありお得な本です.

書評:熊谷隆『確率論』(共立出版)

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書誌情報

タイトル:確率論
著者:熊谷隆
出版社:共立出版
共立出版の書誌情報ページ

本の内容と特徴

測度論的確率論の入門書です. 付録に測度論の基礎的な内容が証明抜きでまとめてありますが, 全く予備知識がない状態で読むのは難しいかもしれません. 章立ては以下のようになっています.
各章のより詳しい内容は共立出版の書誌情報ページで見られます.

第1章 確率論の基礎
第2章 いろいろな確率過程
第3章 電気回路とランダムウォーク
付録A ルベーグ積分論の基本的定理
付録B 問題の解答


付録を除くと3章のみとコンパクトに見えますが, ページ数は200ページほどあり, 特別薄い本という訳ではありません. この本の構成は大きく1,2章と3章の2つにわけられます. 1,2章では大数の法則, 中心極限定理, マルチンゲールの初歩といった入門書では定番の内容を扱い, 3章では有限グラフ上のマルコフ過程をポテンシャル論の立場から論じるという多少具体的な内容を扱っています. 1,2章と3章の違いは内容の一般性の差だけでなく, 取り扱いのスタイルも異なります.

1,2章の内容が基礎理論の初歩の紹介であるのに対し, 3章は枠組みに少し強めの制限を課す代わりに深い部分まで論じています. より詳しく言うと, 1,2章の内容は概ね基礎概念の定義から容易に引き出せる主張の紹介に留まるのに対し, 3章はマルコフ過程のポテンシャル論的な取り扱いという広大な一般論の入門的部分を有限グラフという簡単な場合に限って論じており,  都度必要な概念を定義し, それらの基本的な性質を引き出し, 一般的な主張を導くというプロセスの繰り返し, つまり特定の理論を紹介する数学書の標準的スタイルで書かれています. 1,2章がパッと読んでも楽しめるのに対し, 3章は様々な概念, 命題を積み上げて初めて面白さがわかるものになっています.

1,2章の特徴は2点あり, 1つは既に取り扱いの定まった古典的内容を一般的に論じるだけでなく興味深い応用を随所に加えながら紹介している点, もう1つは入門書で取り扱われることは少ないものの早い段階で知っておくべき内容を多数含んでいる点です. 具体的には大数の法則を用いてワイエルシュトラスの多項式近似定理を証明したり, マルチンゲールの応用として最適戦術やオプションの価格付けを論じたり, 大偏差原理の入門的な内容が証明付きで載っていたりします. 注目すべき点としては, 簡単な場合を扱っているとはいえ, これらの内容がほぼself-containedに記されているという点です. ただ多数の応用を扱っている分, 一般論の内容が他の入門書と比べて少なめになっています. 例えば大数の強法則は4次モーメントの存在を仮定して示していますし, マルチンゲールの一般論に関してはほぼ任意抽出定理のみしか扱っておらず, ドゥーブの不等式や概収束定理などには全く触れられていません.

3章は有限グラフ上のポテンシャル論を用いてマルコフ過程を構成, 解析していくという内容です. タイトルにあるように電気回路という概念が現れます, これは中学, 高校で扱ったような電気回路を数学的に定式化したもので非常にわかりやすいものです. オームの法則やキルヒホッフの法則も数学的に定式化されます. これらの非常に単純かつ馴染みのある概念から出発し, マルコフ過程を電気回路上を運動する電荷をもった粒子の軌跡として構成します. つまり抵抗の大きな道は通りにくく抵抗の少ない道は通りやすいという性質を持った粒子の運動と直観的に解釈できるものです. ここで注意したいのはマルコフ過程を構成するだけなら別に電気回路を用いずとも, 例えば遷移行列を与えればできるわけですが, この方法をとることの利点として, マルコフ過程を見るだけでは一見非自明な主張が電気回路的(ポテンシャル論的)に解釈すると簡単に分かったり, 逆にポテンシャル論な概念を確率過程の言葉に翻訳することで議論が明快になるという点があり, それらの威力がこの章の中で遺憾なく発揮されています.

3章では一般論だけでなく応用も論じられています. 電気回路を用いたデーンの定理の証明や無限グラフ上のランダムウォークの再帰性などどれも高度に非自明な結果に対し, 必ずしも簡単ではないものの見通しの良い方法で証明を与えています.

総評

上にも記したようにこの本は1,2章と3章で内容の一般性, 記述のスタイルが異なるため全体を一括で評価することはできません. しかしそれぞれの部分が良くできた良書だと思います.

1,2章の内容は「定番の内容+α」からなると書きましたが, +αの部分が素晴らしいです. 入門書を読んでよくあることとして, 完成された定理, 理論の鑑賞者に留まってしまうというのがあります. つまり読み通せはするものの次に何を勉強したらよいか分からないという状態です. この本では随所に応用が載っており, さらに幅広い入門的内容を紹介しているため次に学びたい内容を見つけやすいように配慮されています. ただその分各内容の記述が少なめだったり, 仮定が強かったり, 証明が多少天下り的だったりしますが, 様々な応用の魅力の一端を伝えるのには十分な役割を果たしていると言えるでしょう. また各応用に対してコメント付きで参考文献が紹介されているのも非常に有益です.

3章で論じられている内容はディリクレ形式を用いて 有限グラフに限らずより一般の空間で展開することができますが, ディリクレ形式は抽象的で敷居が高く, 学ぶには忍耐が必要です. この本では有限グラフ上に議論を制限することが功を奏し, 細かい部分に煩わされることなくポテンシャル論的なマルコフ過程論の入門部分を学ぶことができます. 完成度はかなり高く, 類書もなく稀有な内容だと思います.

全体としてこの本は読んでおいて損は無い本だと思います.  1,2章で触れられている話題は誰でも知っておいた方が良いことばかりなので, 他の入門書を読んだ人でも拾い読みするといいと思います. 一方で各項目の記述は浅めなのでこれだけで入門というのは少し勧められません. 3章は誰にでも必要とは言えませんが, 綺麗にまとまっているので一見して興味が無くとも時間があれば読んでみると良いでしょう.

書評:舟木直久『確率論』(朝倉書店)

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書誌情報

タイトル:確率論
著者:舟木直久
出版社:朝倉書店
朝倉書店| 確率論

本の内容

測度論的確率論の入門書です. 予備知識としては測度論の基本的な部分は必要ですが確率論については全く予備知識を必要としません. 章立ては以下のようになっています.

1. 確率論を学ぶにあたって
2. 確率論の基礎概念
3. 条件つき確率と独立性
4. 大数の法則
5. 中心極限定理と少数の法則
6. マルチンゲール
7. マルコフ過程


1章は「確率論を学ぶにあたって」という名の通り, 確率論がどのような分野かを紹介しています. 特徴としては「何故確率論を測度論で定式化するか」, より詳しくは「何故可算個の集合の和をとる操作で閉じた体系が欲しいのか」を強調して書いてあり, 天下り的に確率空間を定義するのではなく, その様な定式化に至る歴史的経緯を説明しています. この説明を読むと「有限加法性を考えるだけでは捉えきれない現象を捉えるための自然な拡張」として完全加法性が必要になることがよく分かります.

2章目からは通常の数学書のスタイルで話が進んでいきます. 2章は基礎概念の定義と基本的な性質の説明にあてられています. 確率空間, 確率変数, 分布の定義に始まり, ファトゥの補題, ルベーグの収束定理といった測度論の基本的な収束定理の復習(流石にこれらの証明は省略されています)と進み, 最後に一様可積分性についてまとめてあります. このように2章は概ね簡単な内容のみからなりますが, 一様可積分性について必要最低限の内容がコンパクトにまとまっているのが印象的です. 他の入門書で学んだ人がこの部分だけ取り出して読むというような使い方もできると思います.

3章では条件付確率と独立性を扱っています. 扱っている内容は初等的な内容のみです. ただし取り扱いには工夫が凝らされています. 独立性の定義は概ね高校で扱ってきたものの延長上にあるものなのでそれほど抵抗なく受け入れられるものだと思いますが, 条件付確率の方は定義を見るだけでは中々それを条件付確率と呼ぶ理由が分かりにくいものです. 条件付き確率は一般に確率空間とその部分σ-fieldから定まりますが, この本ではまず, 事象に対する条件付確率(高校以来の素朴な定義)から始まり, 次に確率空間の有限分割に対する条件付確率と進み, 最後に一般的な部分σ-fieldに対する条件付確率というように進んでいきます. このように条件付確率の定式化が自然に見えるように予備的な説明に時間をかけており初学者に対する学習コストを軽減しようという意図が感じられます.

4章のタイトルは「大数の法則」です. 名前の通り大数の法則のみに1つの章を割いています. ページ数も10ページほどで少ないです. 内容は大きく2つで, 1つは独立確率変数列に対する大数の強法則, もう1つは独立同分布確率変数列に対する大数の強法則です. もちろん弱法則も扱っていますが簡単なのですぐに終わります. 扱いは標準的ですが, 独立同分布確率変数列に対する大数の強法則を期待値有限のみの仮定で証明してあるのは案外珍しいかもしれません.

5章は「中心極限定理と少数の法則」とありますが, 内容の大部分は確率測度の弱収束や特性関数の基本的な性質の整理にあてられています. 内容は標準的です. ボホナーの定理を扱っているのは少し珍しいかもしれません.

6章は「マルチンゲール」です. 離散時間の場合を扱っています. 連続時間の場合は離散時間の極限として得られるので結果のみが書いてあります. 内容は標準的で, 入門レベルで学ぶべきことはすべて書いてあります.

最後の章である7章は「マルコフ過程」となっています. 前半でマルコフ連鎖の一般的な内容を紹介し, 後半ではランダムウォークを扱っています. ここで扱っているのは離散時間のマルコフ連鎖のみです. 一般にはより広い枠組みでマルコフ過程を扱うことができますし, 必要にもなりますが, 離散時間のマルコフ連鎖は少ない準備で確率過程の典型的な話が出来, 議論も簡単という利点があるため入門書であることを考えると適切な選択だと思います. 内容は基礎的な内容のみで扱いも標準的です. 最終到達点は有限状態空間におけるマルコフ連鎖のエルゴード定理です. ランダムウォークに関しても基礎的な内容のみが記されています. 再帰性の判定条件や整数格子上のランダムウォークの再帰性・非再帰性など. この章全体に対して言えるのはマルコフ過程にせよランダムウォークにせよこれだけの内容では基礎としても不十分ということです. つまりこの章は分野の紹介にあてられていると捉えるのが良いです.

総評

この本の大きな特徴は記述の丁寧さです. 初学者にはとっつきにくい概念の導入に多くの説明が付され, 証明はほとんど飛躍なく書かれています. 内容の割にはページ数が多いですが, これは説明の丁寧さによるものなので読むのに苦労することは無いでしょう. 他の特徴としては基礎中の基礎のみに内容を絞り, その分基礎事項を漏れなく解説していることが挙げられます. 確率論は今や広大な分野があり, 入門書といってもトピックの選択は様々なものがあり得ます. その中でこの本のトピックの選択は保守的なものです. 古典的ですが確率論のどの分野に進むとしても必須の知識のみが書いてあります.

この本が有益となる読者は「確率論に(漠然とではあっても)関心を持っており, ちゃんと学び始めたいと考えている人」だと思います. 何故「確率論に(漠然とではあっても)関心を持っており」と前置きしたかと言うと, 確率論について全く知らない人にはあまり勧められないからです. 何故ならこの本は殆どの部分が一般論にあてられており, (個人の感覚に依存するとは思いますが) それほど面白くはありません. 綺麗に内容がまとまっているだけにむしろ, この本を読んだ後にどこへ進むべきかの指針も立てにくいです. また確率論の一般論はかなり完成されており今は具体的なトピックに目を向ける時代だと思います. 具体的な問題は山ほどあります. そのため具体的なトピックを念頭に置かず一般論を学ぶのはあまりお勧めできません. ただ進みたい方向が曖昧にでも定まっている人にとってはかなりお勧めです. 具体的なトピックに関するテキスト若しくは論文を読もうとすると大抵の場合はこの本のレベルの事は前提とされます. その都度適当なテキストを見て対処するというのも不可能ではありませんがこの程度の知識は事前にまとめて仕入れておいた方が楽だと思います. そのような目的で何か1冊読もうというときに, この本は適しているでしょう.